已知函数f(x)=a-12x+1．求证：函数f在R上为增函数；当函数f为奇函数时，求a的值；当函数f为奇函数时，求函数f（x

题文

已知函数f(x)=a-12x+1．
（1）求证：函数f（x）在R上为增函数；
（2）当函数f（x）为奇函数时，求a的值；
（3）当函数f（x）为奇函数时，求函数f（x）在[-1，2]上的值域． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：任取x₁＜x₂∈R则f(x1)-f(x2)=a-12x1+1-(a-12x2+1)=12x2+1-12x1+1=2x1-2x2(2x2+1)(2x1+1)．
∵x₁＜x₂ 2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0故f（x₁）-f（x₂）＜0
所以函数f（x）在R上为增函数．
（2）因函数f（x）在x=0 有意义，又函数f（x）为奇函数，则f（0）=0
即f(0)=a-12=0，得a=12，
当a=12时，f（-x）=-f（x），函数是奇函数．
∴a的值为12
（3）根据①函数是增函数，x∈[-1，2]时，f（-1）≤f（x）≤f（2），
∵f（-1）=-16，f（2）=310
∴函数的值域是[-16，310]

解析

12x1+1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=a-12x+1．（1）.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）