x，y是两个不相等的正数，且满足x3-y3=x2-y2，则[9xy]的最大值为______．．

题文

x，y是两个不相等的正数，且满足x³-y³=x²-y²，则[9xy]的最大值为______．（其中[x]表示不超过x的最大整数）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵x，y是两个不相等的正数，且满足x³-y³=x²-y²，∴x²+xy+y²=x+y，
将其看成y的函数，解出y=12（1-x±1+2x-3x2），由定义域知-13＜x＜1，
若y=12（1-x-1+2x-3x2），
解y＞0，1-x-1+3x•1-x＞0，1-x＞1+3x，x＜0，与x，y同为正数不符，
所以y=12（1-x+1+2x-3x2），且y＞0，x＞0，
（1+2x-3x²）=3[49-（x-13）²]，
设x-13=23sinα，即x=13（1+2sinα），其中-π2≤α≤π2，
由x＞0，知-π6＜α≤π2，
y=12（1-x+1+2x-3x2）=13（1-sinα+3cosα），
由x，y不相等，知1+2sinα≠1-sinα+3cosα，tanα≠13，知α≠π6，
9xy=（1+2sinα）（1-sinα+3cosα）=1+sinα+3cosα-2sin²α+23sinαcosα，
∵（sinα+3cosα）²=sin²α+23sinαcosα+3cos²α=3-2sin²α+23sinαcosα，
9xy=-2+sinα+3cosα+（sinα+3cosα）²=（sinα+3cosα+12）²-94，
∵sinα+3cosα=2sin（α+π3），-π6＜α≤π2，α≠π6，
∴π6＜α+π3≤5π6，但α+π3≠π2，
∴1≤2sin（α+π3）＜2．
所以9xy=（sinα+3cosα+12）²-94＜（2+12）²-94=4．
∴[9xy]的最大值为3．
故答案为：3．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“x，y是两个不相等的正数，且满足x3-y.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）