已知长方形的四个顶点A、B、C和D，一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、D

题文

已知长方形的四个顶点A（0，0）、B（2，0）、C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P₀沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P₁后，依次反射到CD、DA和AB上的点P₂、P₃和P₄（入射角等于反射角）．设P₄的坐标为（x₄，0）．若1＜x₄＜2，求tanθ的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

设P₁B=x，
∠P₁P₀B=θ，则CP₁=1-x，
∠P₁P₂C、∠P₃P₂D、∠AP₄P₃均为θ，∴tanθ=P1BP0B=x．
又tanθ=CP1CP2=1-xCP2=x，
∴CP₂=1-xx=1x-1．
而tanθ=P3DP2D=DP32-(1x-1)=DP33-1x=x，
∴DP₃=x（3-1x）=3x-1．
又tanθ=AP3AP4=1-(3x-1)AP4=2-3xAP4=x，
∴AP₄=2-3xx=2x-3．
依题设1＜AP₄＜2，即1＜2x-3＜2，
∴4＜2x＜5，14＞x2＞15．
∴12＞tanθ＞25．

解析

P1BP0B

考点

据考高分专家说，试题“已知长方形的四个顶点A（0，0）、B（2.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）