已知函数f=4x+a•2x+1+4当a=1时，求函数f的值域；若关于x的方程f=0有两个大于0的实根，求a的取值范围；当x∈

题文

已知函数f（x）=4^x+a•2^x+1+4
（1）当a=1时，求函数f（x）的值域；
（2）若关于x的方程f（x）=0有两个大于0的实根，求a的取值范围；
（3）当x∈[1，2]时，求函数f（x）的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设t=2^x＞0，则y=g（t）=t²+2at+4，
当a=1时，y=t²+2t+4=（t+1）²+3，对称轴为t=-1，开口向上．
∴g（t）在（0，+∞）上单调递增，∴g（t）＞g（0）=4．
∴函数f（x）值域为（4，+∞）．
（2）由x＞0得t＞1．
∴方程f（x）=0有两个大于0的实根等价于方程g（t）=t²+2at+4=0有两个大于1的实根，
则需  △=4a2-16≥0-2a2＞1g(1)=5+2a＞0解得a≥2或a≤-2a＜-1a＞-52，
∴-52＜a≤-2．
（3）由x∈[1，2]得t∈[2，4]，g（t）=（t+a）²+4-a²．
①当-a≥4，即a≤-4时，g（t）在[2，4]上单调递减，
∴g（t）_min=g（4）=20+8a；
②当2＜-a＜4，-4＜a＜-2时，g(t)min=g(-a)=4-a2；
③当-a≤2即a≥-2时，g（t）在[2，4]上单调递增，
∴g（t）_min=g（2）=8+4a．

解析

△=4a2-16≥0-2a2＞1g(1)=5+2a＞0

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=4x+a•2x+1+4.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）