已知函数f(x)=1+sinx+cosx+sin2x1+sinx+cosx，求f的定义域；求f在[0，2π]上的单调递减区间．

题文

已知函数f(x)=1+sinx+cosx+sin2x1+sinx+cosx，
（1）求f（x）的定义域；
（2）求f（x）在[0，2π]上的单调递减区间． 题型：未知 难度：其他题型

答案

f(x)=1+sinx+cosx+sin2x1+sinx+cosx=(sinx+cosx)2+sinx+cosx1+sinx+cosx
=(sinx+cosx)(1+sinx+cosx)1+sinx+cosx=sinx+cos=2sin（x+π4）
（1）函数的定义域是1+sinx+cosx≠0
∴sinx+cosx≠-1，
∴sin（x+π4）≠-22，
∴x+π4≠2kπ+5π4或2kπ+7π4
∴x≠2kπ+π或2kπ+3π2
∴函数的定义域是{x|x≠2kπ+π或2kπ+3π2}
（2）∵正弦曲线的单调递减区间是[2kπ+π2，2kπ+3π2]
∴x+π4∈[[2kπ+π2，2kπ+3π2]
∴x∈[2kπ+π4，2kπ+5π4]，k∈z
即函数的单调递减区间是[2kπ+π4，2kπ+5π4]，k∈z

解析

1+sinx+cosx+sin2x1+sinx+cosx

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=1+sinx+cosx.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）