若函数fA的定义域为A=[a，b)，且fA(x)=(xa+bx-1)2-2ba+1，其中a、b为任意正实数，且a＜b．当A=[4，7）时，研究fA（

题文

若函数f_A（x）的定义域为A=[a，b)，且fA(x)=(xa+bx-1)2-2ba+1，其中a、b为任意正实数，且a＜b．
（1）当A=[4，7）时，研究f_A（x）的单调性（不必证明）；
（2）写出f_A（x）的单调区间（不必证明），并求函数f_A（x）的最小值、最大值；
（3）若x₁∈I_k=[k²，（k+1）²），x₂∈I_k+1=[（k+1）²，（k+2）²），其中k是正整数，对一切正整数k不等式fIk(x1)+fIk+1(x2)＜m都有解，求m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当A=[1，4)时，fA=(x+4x-1)2-7…（2分）
∵x+4x∈[4，5]，∴当x∈[1，2]时f_A（x）是减函数，当x∈[2，4）时f_A（x）是增函数 …（4分）
（2）fA(x)=(xa+bx-1)2-2ba+1在x∈[a，ab]上fA是减函数；在x∈[ab，b)上f_A是增函数．
∴当x=ab时fA(x)有最小值为(2ba-1)2-2ba+1=2ba-4ba+2=2(ba-1)2…（8分）
当x=a时f_A（x）有最大值为(ba)2-2ba+1=b2a2-4ba+1=(ba-1)2…（10分）
（3）当A=I_k时fIk(x)最小值为fIk(k(k+1))=2k2
当A=I_k+1时fIk+1(x)最小值为fIk+1((k+1)(k+2))=2(k+1)2…（12分）
∴m＞2k2+2(k+1)2（k∈N*）…（14分）
设 t=2k2+2(k+1)2，(k∈N*)，则  tmax=52，∴m＞52…（16分）

解析

4x

考点

据考高分专家说，试题“若函数fA（x）的定义域为A=[a，b).....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）