已知函数f=(12)x•g(x)=x-2x+1求函数F=f-f，x∈[0，2]的值域；试判断H=f+g（x

题文

已知函数f（x）=(12)x•g(x)=x-2x+1
（1）求函数F（x）=f（2x）-f（x），x∈[0，2]的值域；
（2）试判断H（x）=f（-2x）+g（x）在（-1，+∞）的单调性并加以证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）F（x）=(12)2x-(12)x
令t=(12)x（t＞0）则
y=t2-t=(t-12)2-14
当t=12，y最小为-14
当t=2时，y有最大值为2
故F（x）的值域为[-14，2]
（2）H（x）=4x-3x+1+1
∵H′(x)=4xlnx+3(x+1)2＞0
∴H（x）在（-1，+∞）单调递增

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=(12)x•g(x)=.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）