已知函数f=x+a+a|x|，a为实数．当a=1，x∈[-1，1]时，求函数f的值域；设m、n是两个实数，满足m＜n，若函数f的单

题文

已知函数f（x）=x+a+a|x|，a为实数．
（1）当a=1，x∈[-1，1]时，求函数f（x）的值域；
（2）设m、n是两个实数，满足m＜n，若函数f（x）的单调减区间为（m，n），且n-m≤3116，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

设y=f（x）
（1）a=1时，f(x)=x+1+|x|
当x∈（0，1]时，f(x)=x+1+x为增函数，y的取值范围为（1，1+2]
当x∈[-1，0）时，f(x)=x+1-x
令t=x+1，0≤t≤1，∴x=t²-1
∴y=-(t-12)2+54，0≤t≤1，
∴y的取值范围为[1，54]
∵54＜1+2
∴当a=1，x∈[-1，1]时，函数f（x）的值域为[1，1+2]
（2）令t=x+a，
∴x=t²-a，t≥0，y=g（t）=t+a|t²-a|
①a=0时，f(x)=x无单调减区间
②a＜0时，y=g（t）=at²+t-a²，t在(-12a，+∞)上g（t）是减函数，
∴x在(14a2-a，+∞)上f（x）是减函数
∴a＜0不成立
③a＞0时，y=g(t)=-at2+t+a2，0≤t≤aat2+t-a2，t＞a
当且仅当12a＜a时，即a＞2-23时，在t∈(12a，a)上，g（t）是减函数，即x∈(14a2-a，0)时，f（x）是减函数
∴n-m=a-14a2≤3116
∴（a-2）（16a²+a+2）≤0
∴a≤2
∴a的取值范围为(2-23，2]

解析

x+1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x+a+a|x|，a为.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）