已知向量m=(3，1)，向量n是与向量m夹角为π3的单位向量．求向量n；若向量n与向量q=(-3，1)平行，与向量p=(3x2，x-y2)垂直，求t

题文

已知向量m=(3，1)，向量n是与向量m夹角为π3的单位向量．
（1）求向量n；
（2）若向量n与向量q=(-3，1)平行，与向量p=(3x2，x-y2)垂直，求t=y²+5x+4的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设n=（x，y），
∵向量n是单位向量，
∴x²+y²=1．
∵向量n与向量m夹角为π3，
∴cosπ3=3x+y2，
∴3x+y=1，
解方程组x2+y2=13x+y=0，
得x=0，y=1，或x=32，y=-12．
∴n=（0，1），或n=(32，-12)．
（2）∵n=（0，1）和向量q=(-3，1)不平行，
∴向量n=(32，-12)，
向量n与向量q=(-3，1)平行，与向量p=(3x2，x-y2)垂直，
∴32•3x2+(-12) •(x-y2)=0，
∴3x²-x+y²=0．
t=y²+5x+4
=（-3x²+x）+5x+4
=-3x²+6x+4，
因为-3x²+x＞0
所以0＜x＜13，
所以当x=13时，t=-3x²+6x+4取最大值t_max=173．

解析

n

考点

据考高分专家说，试题“已知向量m=(3，1)，向量n是与向量m.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）