已知f=log2x，当点M在y=f的图象上运动时，点N函数y=gn的图象上运动．求y=gn的

题文

已知f（x）=log₂x，当点M（x，y）在y=f（x）的图象上运动时，点N（x-2，ny）函数y=g_n（x）的图象上运动（n∈N^*）．
（1）求y=g_n（x）的表达式．
（2）若集合A={a|关于x的方程 4g₁（x）=g₂（x-2+a）有实根，a∈R}，求集合A
（3）设Hn(x)=(12)gn(x)，函数F（x）=H₁（x）-g₁（x）的定义域为0＜a≤x≤b，值域为[log252b+2，log242a+2]，求实数a，b的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）据题设，得点N（x-2，ny）函数y=g_n（x）的图象上运动且y=log₂x，
得g_n（x-2）=nlog₂x（x＞0）∴g_n（x）=nlog₂（x+2）（x＞-2，n∈N^*）
（2）据题设，得：方程4log₂（x+2）=2log₂（x+a）有实根
即：（x+2）²=x+a（x＞-2）有实根∴a=x2+3x+4≥74∴A=[74，+∞)
（3）据题设，有F(x)=1x+2-log2(x+2)（x＞-2），
∵1x+2和-log₂（x+2）分别是（-2，+∞）上的减函数，
∴F（x）在（-2，+∞）上是减函数，
∴F（x）区间[a，b]上的值域为[F（b），F（a）]；
∴F(a)=log242a+2F(b)=log252b+2∴a=2，b=3

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）=log2x，当点M（x，y.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）