对于定义域为D的函数y=f，如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足下列条件：①f在[m，n]内是单调的；②当定义域是[m，n]时，f的值域也是[

题文

对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]内是单调的；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]时，则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
（1）判断函数y=3-4x是否存在“和谐区间”，并说明理由；
（2）如果[m，n]是函数y=(a2+a)x-1a2x(a≠0)的一个“和谐区间”，求n-m的最大值；
（3）有些函数有无数个“和谐区间”，如y=x，请你再举一类（无需证明） 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设[m，n]是函数y=3-4x的“和谐区间”，则y=3-4x在[m，n]上单调．
所以[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞）
因此，y=3-4x在[m，n]上为增函数．
则f（m）=m，f（n）=n．即方程3-4x=x有两个解m，n
又3-4x=x可化为x²-3x+4=0，而x²-3x+4=0无实数解．
所以，函数y=3-4x不存在“和谐区间”
（2）因为f(x)=(a2+a)x-1a2x=a+1a-1a2x在[m，n]上是单调的，
所以[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞）
则f（m）=m，f（n）=n
所以m，n是a+1a-1a2x=x的两个同号的实数根
即方程a²x-（a²+a）x+1=0有两个同号的实数根，注意到mn=1a2＞0
只要△=（a²+a）²-4a²＞0，解得a＞1或a＜-3
所以n-m=(m+n)2-4mn=(a2+aa2)-4a2=-3a2+2a+1=-3(1a-13)2+43
其中a＞1或a＜-3，所以，当a=3时，n-m取最大值233
（3）答案不唯一，如可写出以下函数：y=a-x（a为常数），y=kx（k＞0为常数）

解析

4x

考点

据考高分专家说，试题“对于定义域为D的函数y=f（x），如果存.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）