已知M﹑N，P为坐标平面上的动点，且直线PM与直线PN的斜率之积为常数m．求P点的轨迹方程并讨论轨迹是什么曲线？

题文

已知M（-3，0）﹑N（3，0），P为坐标平面上的动点，且直线PM与直线PN的斜率之积为常数m（m≥-1，m≠0）．
（1）求P点的轨迹方程并讨论轨迹是什么曲线？
（2）若m=-59，P点的轨迹为曲线C，过点Q（2，0）斜率为k₁的直线ℓ₁与曲线C交于不同的两点A﹑B，AB中点为R，直线OR（O为坐标原点）的斜率为k₂，求证k₁k₂为定值；
（3）在（2）的条件下，设QB=λAQ，且λ∈[2，3]，求ℓ₁在y轴上的截距的变化范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设p（x，y）
由yx+3•yx-3=m，得y²=m（x²-9），
若m=-1，则方程为x²+y²=9，轨迹为圆（除A B点）；
若-1＜m＜0，方程为x29+y2-9m=1，轨迹为椭圆（除A B点）；
若m＞0，方程为x29-y2-9m=1，轨迹为双曲线（除A B点）．
（2）m=-59时，曲线C方程为x29+y25=1，设ℓ₁的方程为：x=ty+2
与曲线C方程联立得：（5t²+9）y²+20ty-25=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y1+y2=-20t5t2+9①，y1y2=-255t2+9②，
可得R(185t2+9，-10t5t2+9)，k1k2=1t•(-5t9)=-59．
（3）由BQ=λQA得y₂=-λy₁代入①②得：(1-λ)y1=-20t5t2+9③，λy21=255t2+9④，
③式平方除以④式得：1λ-2+λ=16t25t2+9，
而1λ-2+λ在λ∈[2，3]上单调递增，12≤1λ-2+λ≤43，34≤5t2+916t2≤2，ℓ₁在y轴上的截距为b，b2=(-2t)2=4t2∈[289，12]，b∈[-23，-273]∪[273，23]．

解析

yx+3

考点

据考高分专家说，试题“已知M（-3，0）﹑N（3，0），P为坐.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）