函数f定义域为C，若满足①f在C内是单调函数；②存在[m，n]⊆D使f在[m，n]上的值域为[m2，n2]，那么就称y=f为“希望函数”

题文

函数f（x）定义域为C，若满足①f（x）在C内是单调函数；②存在[m，n]⊆D使f（x）在[m，n]上的值域为[m2，n2]，那么就称y=f（x）为“希望函数”，若函数f（x）=log_a（a^x+t）（a＞0，a≠1）是“希望函数”，则t取值范围为______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

因为函数f（x）=log_a（a^x+t）在其定义域内为增函数，则若函数y=f（x）为“希望函数”，
方程f（x）=12x必有两个不同实数根，
∵log_a（a^x+t）=12x⇔a^x+t=a12x⇔a^x-a12x+t=0，
令m=a12x
∴方程m²-m+t=0有两个不同的正数根，
∴△=1-4t＞0t＞0
∴t∈（0，14）
故答案为：（0，14）
法二：依题意，函数g（x）=log_a（a^x+t）（a＞0，a≠1）在定义域上为单调递增函数，且t≥0，
而t=0时，g（x）=x不满足条件②，
∴t＞0．设存在[m，n]，使得g（x）在[m，n]上的值域为[12m，12n]，
∴loga(am+t)=12mloga(an+t)=12n
即a12m=am+ta12n=an+t
∴m，n是方程（a^x）²-a^x+t=0的两个不等正实根，
∴△=1-4t＞0，且t＞0
∴0＜t＜14
故答案为：（0，14）

解析

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考点

据考高分专家说，试题“函数f（x）定义域为C，若满足①f（x）.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）