设函数f的定义域为D．如果∀x∈D，∃y∈D，使f(x)+f(y)2=C成立，则称函数f在D上的均值为C，给出下列四个函数①y=x3；②

题文

设函数f（x）的定义域为D．如果∀x∈D，∃y∈D，使f(x)+f(y)2=C（C为常数）成立，则称函数f（x）在D上的均值为C，给出下列四个函数
①y=x³；
②y=(12)x；
③y=lnx；
④y=2sinx+1，
则满足在其定义域上均值为1的函数的个数是（ ）A．1B．2C．3D．4 题型：未知 难度：其他题型

答案

①对于函数y=x³，定义域为R，设x∈R，由x3+y32=1，得y³=2-x³，所以y=32-x3∈R，所以函数y=x³是定义域上均值为1的函数；
②对于y=(12)x，定义域为R，设x∈R，由(12)x+(12)y2=1，得(12)y=2-(12)x，当x=-2时，2-(12)-2=-2，不存在实数y的值，使(12)y=-2，所以该函数不是定义域上均值为1的函数；
③对于函数y=lnx，定义域是（0，+∞），设x∈（0，+∞），由lnx+lny2=1，得lny=2-lnx，则
y=e^2-lnx∈R，所以该函数是定义域上均值为1的函数；
④对于函数y=2sinx+1，定义域是R，设x∈R，由2sinx+1+2siny+12=1，得siny=-sinx，因为-sinx∈[-1，1]，
所以存在实数y，使得siny=-sinx，所以函数y=2sinx+1是定义域上均值为1的函数．
所以满足在其定义域上均值为1的函数的个数是3．
故选C．

解析

x3+y32

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）的定义域为D．如果∀x∈D.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）