已知定理：“若a，b为常数，g满足g+g=2b，则函数y=g的图象关于点中心对称”．设函数f(x)=x+1-aa-x，

题文

已知定理：“若a，b为常数，g（x）满足g（a+x）+g（a-x）=2b，则函数y=g（x）的图象关于点（a，b）中心对称”．设函数f(x)=x+1-aa-x，定义域为A．
（1）试证明y=f（x）的图象关于点（a，-1）成中心对称；
（2）当x∈[a-2，a-1]时，求证：f(x)∈[-12， 0]；
（3）对于给定的x₁∈A，设计构造过程：x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n+1=f（x_n）．如果x_i∈A（i=2，3，4…），构造过程将继续下去；如果x_i∉A，构造过程将停止．若对任意x₁∈A，构造过程都可以无限进行下去，求a的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f(x)=-1+1a-x，∴f(a+x)+f(a-x)=(-1+1-x)+(-1+1x)=-2．
由已知定理，得y=f（x）的图象关于点（a，-1）成中心对称．（3分）
（2）先证明f（x）在[a-2，a-1]上是增函数，只要证明f（x）在（-∞，a）上是增函数．
设-∞＜x₁＜x₂＜a，则f(x1)-f(x2)=1a-x1-1a-x2=x1-x2(a-x1)(a-x2)＜0，
∴f（x）在（-∞，a）上是增函数．再由f（x）在[a-2，a-1]上是增函数，得
当x∈[a-2，a-1]时，f（x）∈[f（a-2），f（a-1）]，即f(x)∈[-12， 0]．（7分）
（3）∵构造过程可以无限进行下去，∴f(x)=x+1-aa-x≠a对任意x∈A恒成立．
∴方程x+1-aa-x=a无解，即方程（a+1）x=a²+a-1无解或有唯一解x=a．
∴a+1=0a2+a-1≠0或a+1≠0a2+a-1a+1=a由此得到a=-1（13分）

解析

1a-x

考点

据考高分专家说，试题“已知定理：“若a，b为常数，g（x）满足.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）