附加题：连续函数f满足：对于任何x、y∈R，都有f=f⋅f成立，且f不是常数函数．求证：对于任意x∈R，都有f＞0

题文

附加题：
连续函数f（x）满足：对于任何x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）⋅f（y）成立，且f（x）不是常数函数．
（Ⅰ）求证：对于任意x∈R，都有f（x）＞0；
（Ⅱ）求证：对于任意x∈Q，都有f（x）=[f（1）]^x；
（Ⅲ）设f（1）=a，求证：对于任意x∈R，都有f（x）=a^x． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（I）假设设f（x）＜0，
∵x、y∈R，则f（x+y）＜0
f（x）．f（y）＞0，
与f（x+y）=f（x）．f（y）矛盾，
∴f（x）＞0
（II）对任意x，f（0）=f[x+（-x）]=f（x）f（-x）=1，即f（-x）=1f(x)=[f（x）]^-1
    可以推出：f（m）=f（1+1+…+1）=[f（1）]^m，m为正整数．
            f（1）=f（1n+1n+…+1n）=[f（1n）]ⁿ，f（1n）=[f(1)]1n，n为正整数．
  设x=mn，m、n为整数．
  f（x）=f（mn）=[f(1)]mn=[f（x）]^x
（III）设x为任意实数，则存在一系列有理数（可能是无穷多个）x₁、x₂、x₃、…
  使得x=x₁+x₂+x₃+…
∵f（x+y）=f（x）⋅f（y）
  所以，f（x）=f（x₁+x₂+x₃+…）=a^x_1•a^^x_2•a^x₃•…=a^{（x₁+x₂+x₃+…）}=a^x

解析

1f(x)

考点

据考高分专家说，试题“附加题：连续函数f（x）满足：对于任何x.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）