对于函数y=f若同时满足下列两个条件，则称f为D上的闭函数．①f在D上为单调函数；②存在闭区间[a，b]⊆D，使f在[a，b]

题文

对于函数y=f（x）（x∈D）若同时满足下列两个条件，则称f（x）为D上的闭函数．
①f（x）在D上为单调函数；
②存在闭区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]．
（1）求闭函数y=-x³符合上述条件的区间[a，b]；
（2）若f（x）=x³-3x²-9x+4，判断f（x）是否为闭函数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵y=-x³，∴y′=-3x²≤0．
∴函数y=-x³为减函数．
故f(a)=bf(b)=a即-3a3=b-3b3=a.
∴a=-1b=-1.所求闭区间为[-1，1]．
（2）f′（x）=3x²-6x-9．
由f′（x）≥0，得x≥3或x≤-1．
由f′（x）≤0，得-1≤x≤3．
∴f（x）在定义域内不是单调函数．
故f（x）不是闭函数．

解析

f(a)=bf(b)=a

考点

据考高分专家说，试题“对于函数y=f（x）（x∈D）若同时满足.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）