已知函数f(x)=1+1x-1，g(x)=f(2|x|)．求函数f和g的定义域；函数f和g是否具有奇偶性，并说明理由；（I

题文

已知函数f(x)=1+1x-1，g(x)=f(2|x|)．
（I）求函数f（x）和g（x）的定义域；
（II）函数f（x）和g（x）是否具有奇偶性，并说明理由；
（III）证明函数g（x）在（-∞，0）上为增函数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）g(x)=f(2|x|)=1+12|x|-1，
∵2^|x|-1≠0⇒x≠0又1-x≠0⇒x≠1
函数f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠1}
函数g（x）的定义域{x|x∈R且x≠0}…（5分）
（II）由f（x）的定义域为{x|x≠1}可知函数f（x）为非奇非偶函数，
又g(-x)=1+12|-x|-1=1+12|x|-1=g(x)，
且函数g（x）的定义域{x|x∈R且x≠0}的定义域关于原点对称，
∴g（x）为偶函数…（10分）
（III）设x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂
g(x1)-g(x2)=12|x1|-1-12|x2|-1=2|x2|-2|x1|(2|x1|-1)(2|x2|-1)，
∵x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂，
∴|x₁|＞|x₂|＞0
所以2|x1|＞2|x2|，2|x2|-2|x1|＜0，
2|x1|-1＞0，2|x2|-1＞0⇒g(x1)＜g(x2)
根据函数单调性的定义知  函数g（x）在（-∞，0）上为增函数…（15分）

解析

12|x|-1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=1+1x-1，g(x).....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）