函数f的定义域为D，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数f满足：①f在[a，b]内是单调函数；②f在[a，b]上的值域为[2a，2b]，

题文

函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为y=f（x）的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有（ ）
①f（x）=x²（x≥0）；
②f（x）=e^x（x∈R）；
③f（x）=4xx2+1（x≥0）；
④f（x）=loga(ax-18)(a＞0，a≠1)．A．①②③④B．①②④C．①③④D．①③ 题型：未知 难度：其他题型

答案

函数中存在“倍值区间”，则：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②f(a)=2af(b)=2b或f(a)=2bf(b)=2a
①f（x）=x²（x≥0），若存在“倍值区间”[a，b]，则f(a)=2af(b)=2b，∴a2=2ab2=2b∴a=0b=2
∴f（x）=x²（x≥0），若存在“倍值区间”[0，2]；
②f（x）=e^x（x∈R），若存在“倍值区间”[a，b]，则f(a)=2af(b)=2b，∴ea=2aeb=2b
构建函数g（x）=e^x-2x，∴g′（x）=e^x-2，
∴函数在（-∞，ln2）上单调减，在（ln2，+∞）上单调增，
∴函数在x=ln2处取得极小值，且为最小值．
∵g（ln2）=2-2ln2＞0，∴g（x）＞0恒成立，∴e^x-2x=0无解，故函数不存在“倍值区间”；
③f(x)=4xx2+1(x≥0)，f′(x)=4(x2+1)-4x×2x(x2+1)2=4(1+x)(1-x)(x2+1)2
若存在“倍值区间”[a，b]⊆[0，1]，则f(a)=2af(b)=2b，∴4aa2+1=2a4bb2+1=2b，∴a=0，b=1，若存在“倍值区间”[0，1]；
④f(x)=loga(ax-18)(a＞0，a≠1)．不妨设a＞1，则函数在定义域内为单调增函数
若存在“倍值区间”[m，n]，则f(m)=2mf(n)=2n，必有loga(am-18)=2mloga(an-18)=2n，
必有m，n是方程loga(ax-18)=2x的两个根，
必有m，n是方程a2x-ax+18=0的两个根，
由于a2x-ax+18=0存在两个不等式的根，故存在“倍值区间”[m，n]；
综上知，所给函数中存在“倍值区间”的有①③④
故选C．

解析

f(a)=2af(b)=2b

考点

据考高分专家说，试题“函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）