已知函数f=logax-2x+2．求f的定义域；讨论f的奇偶性；是否存在实数，使得f的定义域为[m

题文

已知函数f（x）=log_ax-2x+2（a＞0，且a≠1）．
（1）求f（x）的定义域；  
（2）讨论f（x）的奇偶性；
（3）是否存在实数，使得f（x）的定义域为[m，n]时，值域为[1+log_an，1+log_am]？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，则说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵x-2x+2＞0，∴（x+2）（x-2）＞0，解得x＞2，或x＜-2．
∴函数f（x）的定义域是{x|x＜-2，或x＞2}．
（2）∵f（-x）=loga-x-2-x+2=logax+2x-2=-logax-2x+2=-f（x）．
及由（1）可知：函数f（x）的定义域关于原点对称．
∴函数f（x）是奇函数．
（3）假设存在这样的实数a，则由m＜n，log_am及logam-2m+2由意义，
可知2＜m＜n．
由∵1+log_an＜1+log_am，∴log_an＜log_am，
∴0＜a＜1．
令t=x-2x+2，则t=1-4x+2在区间[m，n]（m＞2）上单调递增，
∴函数f（x）=logax-2x+2在区间[m，n]上单调递减．
∴f(m)=logam-2m+2=1+logamf(n)=logan-2n+2=1+logan，
∴m，n是方程logax-2x+2=1+logax的两个大于2的根．方程可化为x-2x+2=ax，即ax²+（2a-1）x+2=0．
上述问题⇔关于x的方程ax²+（2a-1）x+2=0在（2，+∞）上有两个不相等的实数解．
令g（x）=ax²+（2a-1）x+2，
则有△=(2a-1)2-8a＞0g(2)=8a＞0-2a-12a＞2，解得a＞3+222或a＜3-222a＞00＜a＜16．
解得0＜a＜3-222．
又0＜a＜1，
∴0＜a＜3-222．
故存在这样的实数a，且a的取值范围为(0，3-222)．

解析

x-2x+2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=logax-2x+2（.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）