集合C={f|f是在其定义域上的单调增函数或单调减函数}，集合D={f|f在定义域内存在区间[a，b]，使得f在a，b上的值域是[

题文

集合C={f（x）|f（x）是在其定义域上的单调增函数或单调减函数}，集合D={f（x）|f（x）在定义域内存在区间[a，b]，使得f（x）在a，b上的值域是[ka，kb]，k为常数}．
（1）当k=12时，判断函数f（x）=x是否属于集合C∩D？并说明理由．若是，则求出区间[a，b]；
（2）当k=120时，若函数f（x）=x+t∈C∩D，求实数t的取值范围；
（3）当k=1时，是否存在实数m，当a+b≤2时，使函数f（x）=x²-2x+m∈D，若存在，求出m的范围，若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）y=x的定义域是[0，+∞），
∵y=x在[0，+∞）上是单调增函数，
设y=x在[a，b]的值域是[a，b]，
由a=12ab=12b，解得a=0b=4，
故函数y=x属于集合C∩D，且这个区间是[0，4]．
（2）设g（x）=x+t，则g（x）是定义域[0，+∞）上的增函数，
∵g（x）∈C∩D，∴存在区间[a，b]⊂[0，+∞），满足g（a）=12a，g（b）=12b，
∴方程g（x）=12x在[0，+∞）内有两个不等实根，
方程x+t=12x在[0，+∞）内有两个不等实根，
令x=m，则其化为m+t=12m2，
即m²-2m-2t=0有两个非负的不等实根，
∴△=4+8t＞0x1+x2=2＞0x1x2=-2t≥0，解得-12＜t≤0．
（3）f（x）=x²-2x+m∈D，且k=1，
∴当a＜b≤1时，f（x）在[a，b]上单调递减，
b=m-2a+a2a=m-2b+b2，
两式相减，得a+b=1，
∴1-a=m-2a+a21-b=m-2b+b2，
0=m-1-a+a20=m-1-b+b2，
∴方程0=m-1-x+x²在x≤1上有两个不同的解，
解得m∈[1，54）．

解析

x

考点

据考高分专家说，试题“集合C={f（x）|f（x）是在其定义域.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）