定义F=y，x，y∈，令函数f(x)=F(3，log2(2x-x2+4))，写出函数f的定义域；令函数g(x

题文

定义F（x，y）=（1+x）^y，x，y∈（0，+∞），
（I）令函数f(x)=F(3，log2(2x-x2+4))，写出函数f（x）的定义域；
（II）令函数g(x)=F(1，log2(x3+ax2+bx+1))的图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在x₀（-4＜x₀＜-1）处有斜率为-8的切线，求实数a的取值范围
（III）当x，y∈N*且x＜y时，求证F（x，y）＞F（y，x）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）log2(2x-x2+4)＞0，即2x-x²+4＞1得函数f（x）的定义域是（-1，3），
（II）g（x）=F（1，log₂（x²+ax²+bx+1））=x³+ax²+bx+1，
设曲线C₂在x₀（-4＜x＜-1）处有斜率为-8的切线，
又由题设log₂（x³+ax²+bx+1）＞0，g'（x）=3x²+2ax+b，
∴存在实数b使得3x02+2ax0+b=-8①-4＜x0＜-1②x03+ax02+bx0+1＞1③有解，
由①得b=-8-3x20-2ax0，代入③得-2x20-ax0-8＜0，
∴由2x20+ax0+8＞0-4＜x0＜-1有解，
得a＜2(-x0)+8(-x0)，因为-4＜x₀＜-1，所以2(-x0)+8(-x0)∈[8，10)，
当a＜10时，存在实数b，使得曲线C在x₀（-4＜x₀＜-1）处有斜率为-8的切线．
（III）令h(x)=ln(1+x)x，x≥1，由h′(x)=x1+x-ln(1+x)x2，
又令p(x)=x1+x-ln(1+x)，x＞0，∴p′(x)=1(1+x)2-11+x=-x(1+x)2＜0，
∴p（x）在[0，+∞）单调递减．∴当x＞0时有p（x）＜p（0）=0，∴当x≥1时有h'（x）＜0，∴h（x）在[1，+∞）单调递减，
∴1≤x＜y时，有ln(1+x)x＞ln(1+y)y，∴yln（1+x）＞xln（1+y），
∴（1+x）^y＞（1+y）^x
∴当x，y∈N^*且x＜y时，F（x，y）＞F（y，x）．

解析

3x02+2ax0+b=-8①-4＜x0＜-1②x03+ax02+bx0+1＞1③

考点

据考高分专家说，试题“定义F（x，y）=（1+x）y，x，y∈.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）