已知函数f(x)=x-1，x≥11-x，0≤x＜1当0＜a＜b，且f=f时，求a+b的值；是否存在[a，b]⊆[1，+∞），使得f

题文

已知函数f(x)=x-1，x≥11-x，0≤x＜1
（1）当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，求a+b的值；
（2）是否存在[a，b]⊆[1，+∞），使得f（x）在[a，b]上的值域为[ma，mb]（m≠0）？如果存在，请求出m的取值范围；反之，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）y=f（x）在[0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，
由0＜a＜b，且f（a）=f（b）
可得0＜a＜1＜b，且1-a=b-1，
∴a+b=2；
（2）假设存在[a，b]⊆[1，+∞），使得f（x）在[a，b]上的值域为[ma，mb]（m≠0）
由[a，b]⊆（1，+∞），y=f（x）在（1，+∞）上为增函数，有
a-1=mab-1=mb，此时a，b是方程mx-x+1=0的两个根，
而m=-1x+1x，x＞1，令t=1x∈（0，1），m=-t²+t，⇒0＜m＜14，
或t=1x∈（0，1），g（t）=mt²-t+1，有m＞012m＞0g(1)＞0g(0)＞0
⇒0＜m＜14，
故存在[a，b]⊆[1，+∞），使得f（x）在[a，b]上的值域为[ma，mb]（m≠0）．m的取值范围为：（0，14）．

解析

a

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=x-1，x≥11-x，.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）