设函数y=f=1-x2+a，a∈R设t=1-x+1+x，把y表示成t的函数，并求出t的取值范围；设f的最小值为g

题文

设函数y=f（x）=1-x2+a（1-x+1+x），a∈R
（Ⅰ）设t=1-x+1+x，把y表示成t的函数，并求出t的取值范围；
（Ⅱ）设f（x）的最小值为g（a），求g（a）的解析式，并求g（a）的值域． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由t=1-x+1+x两边同时平方可得，t2=1-x+1+x+21-x2=2+21-x2
∴1-x2=t2-22
∵f（x）=1-x2+a（1-x+1+x）
=t2-22+at=12t2+at-1
∵0≤1-x²≤1
∴2≤t²≤4且t＞0
∴2≤t≤4
∴y=f（t）=12t2+at-1，t∈[2，2]
（II）∵y=f（t）=12t2+at-1，t∈[2，2]
=12(t2+2at+a2)-1-12a2=12(t+a)2-1-12a2
①当-a≥2即a≤-2时，函数f（t）在[2，2]单调递减，g（a）=f（2）=2a+1≤-3
②当-a≤2即a≥-2时，函数f（t）在[2，2]单调递增，g（a）=f（2）=2a≥-2
③当2＜-a＜2即-2＜a＜-2时，g（a）=f（-a）=-1-12a2∈（-3，-2）
根据分段函数的性质可知，分段函数的值域是各段函数值域的并集
∴g（a）的值域为R

解析

1-x

考点

据考高分专家说，试题“设函数y=f（x）=1-x2+a（1-x.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）