题文
已知定义在（1，+∞）上的函数f（x）=1a-1x-1（a＞0）（Ⅰ）若f（2t-3）＞f（4-t），求实数t的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）≤4x对（1，+∞）上的任意x都成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠n），求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）由于定义在（1，+∞）上的函数f（x）=1a-1x-1（a＞0）满足f（2t-3）＞f（4-t），则2t-3＞4-t2t-3＞14-t＞1解得t∈(73，3)
（2）由f（x）≤4x得1a≤4x+1x-1，
∴1a≤4(x-1)+1x-1+4∵4(x-1)+1x-1≥4(x=32时取等号)
∴1a≤8∵a＞0∴a≥18
（3）由于f（x）在（1，+∞）单调递增，∴1a-1m-1=m1a-1n-1=n
∴m，n为方程1a-1x-1=x的两个大于1的不等实根
令x-1=u（u＞0）
由y=1a-1与y=u+1u(u＞0)的图象可得1a-1＞2∴0＜a＜13
解析
1a考点
据考高分专家说，试题“已知定义在（1，+∞）上的函数f（x）=.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域定义域、值域的概念：
自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。
1、求函数定义域的常用方法有：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足
的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则
。
3、求函数值域的方法：
（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如
（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）
