若函数f的值域是其定义域的子集，那么f叫做“集中函数”，则下列函数：①f=xx2+x+1，②f=lnx③f=sin4x-

题文

若函数f（x）的值域是其定义域的子集，那么f（x）叫做“集中函数”，则下列函数：
①f（x）=xx2+x+1（x＞0），
②f（x）=lnx
③f（x）=sin⁴x-cos⁴x，x∈[-π12，π8]，
④f(x)=x2-2x-6(-2≤x≤0)2x(-6≤x≤-3)
可以称为“集中函数”的是______（请把符合条件的序号全部填在横线上） 题型：未知 难度：其他题型

答案

对于①，f（x）=xx2+x+1=1x+1x+1≤13，所以值域为(0，13]⊆（0，+∞），所以f（x）是“集中函数”，
对于②，f（x）=lnx的值域为R，不是“集中函数”，
对于③f（x）=（sin²x+cos²x）（sin²x-cos²x）=-cos2x
∵，x∈[-π12，π8]∴值域为[-1，-22]  不是“集中函数”，
对于④，当-2≤x≤0时，f（x）∈[-6，2]
当-6≤x≤-3时，f（x）∈[-12，-6]故函数的值域为[-12，2]，不是“集中函数”，
故答案为：①

解析

xx2+x+1

考点

据考高分专家说，试题“若函数f（x）的值域是其定义域的子集，那.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）