已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC，实数x，y满足PA+xPB+yPC=0．设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S1，S

题文

已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC，实数x，y满足PA+xPB+yPC=0．设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S₁，S₂，S₃，记S3S=λ 3，S 1S=λ 1，S 2S=λ 2．则λ₂•λ₃取最大值时，2x+y的值为______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由题意可得，S1 =12S=S₂+S₃
λ2 •   λ3=S2•S3S2≤(S2+S3)24S2=116当且仅当S₂=S₃时取等号，此时点P在EF的中点
∴PE+PF=0
由向量的加法的四边形法则可得，PA+PB=2PE，PA+PC=2PF
∴2PA+PB+PC=0∵PA+xPB+yPC=0
∴x=y=12，2x+y=32

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）