已知函数f自变量取值区间为A，若其值域区间也为A，则称A为f的保值区间．如f=x2，则区间[0，1]为f的保值区间．求函数f

题文

已知函数f（x）自变量取值区间为A，若其值域区间也为A，则称A为f（x）的保值区间．如f（x）=x²，则区间[0，1]为f（x）的保值区间．
（1）求函数f（x）=x³形如[m，+∞）（m∈R）的保值区间；
（2）函数g(x)=|1x-1|，(x＞0)是否存在形如[a，b]（a＜b）的保值区间？若存在，求出实数a、b的值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（二）∵y=x^s在R上单调递增．m=f（m）=m^s，解得m=0或±二，
∴f（x）的保值区间为[0，+∞）或[二，+∞）或[-二，+∞）．（4分）
（j）函数不存在形0[a，b]的保值区间．若存在实数a、b使得函数g(x)=|二x-二|，(x＞0)有形0[a，b]的保值区间，则a＞0，∵g(x)=|二x-二|=二-二x(x≥二)二x-二(0＜x＜二)
①若二≥b＞a＞0，
则g（x）=|二-二x|=二x-二
在[a，b]上单调递减
最小值g（b），最大值g（a）
g（b）=a，二b-二=a，二-b=ab
g（a）=b，二a-二=b，二-a=ab
两式相减得a=b，与题意不符；
②若b＞a＞二，
则g（x）=|二-二x|=二-二x
在[a，b]上单调递增
最小值g（a） 最大值g（b）
g（a）=a，二-二a=a，a-二=a^j
g（b）=b，二-二b=b，b-二=b^j
可知a，b是方程x-二=x^j的两根
x^j-x+二=0，△=-s＜0，无解；
③若b＞二≥a＞0，
则g（x）=|二-二x|
在[a，二]上单调递减，
在[二，b]上单调递增，
最小值g（二），最大值g（b）或g（a），
a=g（二）=0与a＞0矛盾；
综上所述不存在满足条件的a，b．

解析

二x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）自变量取值区间为A，若其.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）