已知a、b为常数，且a≠0，y=f=ax2+bx，且f=0，并使方程f=x有等根，求f的解析式是否存在实数m、n，

题文

已知a、b为常数，且a≠0，y=f（x）=ax²+bx，且f（2）=0，并使方程f（x）=x有等根，
（1）求f（x）的解析式
（2）是否存在实数m、n，（m＜n）使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵方程ax²+bx-x=0有等根，∴△=（b-1）²=0，得b=1．
∵f（2）=0，∴a=-12，∴f（x）的解析式为f(X)=-12(x-1)2+12；
（2）∵f(X)=-12(x-1)2+12≤12，∴2n≤12，∴n≤14，∴f（x）在[m，n]上单调递增，
若满足题设条件的m，n存在，则f(m)=2mf(n)=2n，∴m=-2n=0即这时定义域为[-2，0]，值域为[-4，0]．
由以上知满足条件的m，n存在，m=-2，n=0．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知a、b为常数，且a≠0，y=f（x）.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）