已知函数f=x2，x∈[0，+∞）存在区间[a，b]⊆[0，+∞），使得函数f在区间[a，b]上的值域为[ka，kb]，则最小的k值为（　

题文

已知函数f（x）=x（x-9）²，x∈[0，+∞）存在区间[a，b]⊆[0，+∞），使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[ka，kb]，则最小的k值为（ ）A．36B．9C．4D．1 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵函数f（x）=x（x-9）²=x³-18x²+81x
∴f′（x）=3x²-36x+81=3（x-9）（x-3），x∈[0，+∞），
∴当x∈[0，3]时f′（x）≥0，则函数在[0，3]上单调递增
当x∈[3，9]时f′（x）0，则函数在[3，9]上单调递减
当x∈（9，+∞）时f′（x）＞0，则函数在（9，+∞）上单调递增
∴当x=3时，函数取极大值108，当x=9时，函数取极小值0．
（1）当a，b∈[0，3]时，f（x）在[0，3]上为增函数，
∴f(a)=a(a-9)2=kaf(b)=b(b-9)2=kb
即在[0，3]上存在两个不等的实数使得（x-9）²=k
而y=（x-9）²在[0，3]上单调递减，故不存在满足条件的k值；
（2）当a，b∈[3，9]时，f（x）在[3，9]上为减函数，
∴f(a)=a(a-9)2=kbf(b)=b(b-9)2=ka
即a=b，此时实数a，b的值不存在．
（3）当a，b∈（9，+∞）时，f（x）在（9，+∞）上为增函数，
∴f(a)=a(a-9)2=kaf(b)=b(b-9)2=kb
即在（9，+∞）上存在两个不等的实数使得（x-9）²=k
而y=（x-9）²在（9，+∞）上单调递增，故不存在满足条件的k值；
（4）当a∈[0，3），b∈[3，9]时，3∈[a，b]，f（3）=108=kb
∴k=108b∈[12，36]
（5）当a∈（3，9），b∈[9，+∞）时，9∈[a，b]，f（9）=0=ka
根据题意可知k＞0
∴a=0，不可能成立
（6）令f（x）=x（x-9）²=108解得x=3或12
令f（x）=x（x-9）²=0解得x=0或9
①当a∈[0，3），b∈[9，12）时，
9∈[a，b]，f（9）=0=ka，3∈[a，b]，f（3）=108=kb
根据题意可知k＞0
∴a=0，k=108b∈[9，12]
②当a∈[0，3），b∈[12，+∞）时，
9∈[a，b]，f（9）=0=ka，
根据题意可知k＞0
∴a=0，
且f（b）=b（b-9）²=kb
k=（b-9）²≥9
综上所述：k∈[9，+∞）
故最小的k值为9
故选B．

解析

f(a)=a(a-9)2=kaf(b)=b(b-9)2=kb

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x（x-9）2，x∈[.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）