定义在R上的函数f满足对任意x，y∈R有f=f+f-1，且当x＜0时，f＜1．证明f在R上是增函数；若f（

题文

定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且当x＜0时，f（x）＜1．
（I）证明f（x）在R上是增函数；
（II）若f（3）=4，求函数f（x）在[1，3]上的值域． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（I）设x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，
f （x₁）-f （x₂）=f[x₂+（x₁-x₂）]-f （x₂）
=f （x₁-x₂）+f （x₂）-1-f （x₂）=f （x₁-x₂）-1，
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，
∵当x＜0时，f（x）＜1
∴f （x₁）-f （x₂）=f （x₁-x₂）-1＜0，
即f （x₁）＜f （x₂），
∴f （x）在R上是增函数；
（II）∵f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）-1=3f（1）-2=4，
∴f（1）=2
∵f （x）在R上是增函数
∴函数f（x）在[1，3]上的值域为[2，4]．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）