已知函数F=1a-1x，x＞0，a＞0．讨论f在定义域上的单调性，并给予证明；若f在[m，n]上的值域是[m，n]，

题文

已知函数F（x）=1a-1x，x＞0，a＞0．
（1）讨论f（x）在定义域上的单调性，并给予证明；
（2）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]，（0＜m＜n），求a的取值范围和相应的m，n的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f（x）在定义域上单调递增．证明如下
任取x₁＞x₂＞0，
则f(x1)-f(x2)=(1a-1x1)-(1a-1x2)
=1x2-1x1=x1-x2x1x2．
∵x₁＞x₂＞0，∴x₁-x₂＞0，x₁x₂＞0．
∴x1-x2x1x2＞0．
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在定义域上单调递增．
（2）由（1）知f（x）在[m，n]上单调递增，
则f（x）在[m，n]上的值域是[f（m），f（n）]．
即f(m)=1a-1m=m，f(n)=1a-1n=n．
∴m，n为方程ax²-x+a=0的两实根，
∴△=1-4a²＞0，
∴-12＜a＜12，又a＞0，可得a∈(0，12)．
则m=1-1-4a22a，n=1+1-4a22a．

解析

1a

考点

据考高分专家说，试题“已知函数F（x）=1a-1x，x＞0，a.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）