设函数f(x)=ax+a+1x(a＞0)，g=4-x，已知满足f=g的x有且只有一个．求a的值，并证明函数f在上为增函

题文

设函数f(x)=ax+a+1x (a＞0)，g（x）=4-x，已知满足f（x）=g（x）的x有且只有一个．
（1）求a的值，并证明函数f（x）在（2，+∞）上为增函数；
（2）若函数h（x）=k-f（x）-g（x）（其中x∈（0，+∞），k∈R）在[m，n]上的值域为[m，n]（0＜m＜n），求k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）ax+a+1x =4-x，得（a+1）x²-4x+a+1=0（*）
由a＞0知x=0不是方程（*）的解，
故△=16-4（a+1）²=0，得a=1．…（2分）
设x₁＞x₂＞2，
可得：f(x1)-f(x2)=…=(x1-x2)(x1x2-2)x1x2＞0，…（4分）
所以，函数f（x）在（2，+∞）上为增函数．…（5分）
（2）h(x)=k-4-2x在（0，+∞）上为增函数，…（6分）
h（x）在[m，n]上的值域为[m，n]，故有h（m）=m，h（n）=n，
所以h（x）=x在（0，+∞）上有两个不等的实根．…（7分）
得方程：k-4-2x=x，即x2-(k-4)x+2=0
在（0，+∞）上有两个不等的实根x₁，x₂．
所以：△=(k-4)2-8＞0x1+x2=k-4＞0x1x2=2＞0，（9分）
得k＞4+22．…（11分）
所以k的取值范围为(4+22， +∞)…（12分）

解析

a+1x

考点

据考高分专家说，试题“设函数f(x)=ax+a+1x(a＞0).....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）