已知：函数fn的定义域为∪，其中f1(x)=x+1+1x，并且当n＞1且n∈N*时，满足fn(x)-fn-1(x)=x

题文

已知：函数f_n（x）（n∈N^*）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），其中f1(x)=x+1+1x，并且当n＞1且n∈N^*时，满足fn(x)-fn-1(x)=xn+1xn．
（1）求函数f_n（x）（n∈N^*）的解析式；
（2）当n=1，2，3时，分别研究函数f_n（x）的单调性与值域；
（3）借助（2）的研究过程或研究结论，提出一个类似（2）的研究问题，并写出问题的研究过程与研究结论．
【第（3）小题将根据你所提出问题的质量，以及解决所提出问题的情况进行分层评分】 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由于f2(x)-f1(x)=x2+1x2f3(x)-f2(x)=x3+1x3…fn(x)-fn-1(x)=xn+1xn；                           （2分）
所以fn(x)=xn+xn-1+…+x+1+1x+…+1xn-1+1xn；                  （4分）
（2）（每小题结论正确（1分），证明（1分），共6分）
当n=1时，f1(x)=x+1+1x，易证函数的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞）；
单调递减区间为（-1，0），（0，1）；值域为（-∞，-1]∪[3，+∞）
当n=2时，f2(x)=x2+x+1+1x+1x2f2(x)=(x+1x+12)2-54，易证函数的单调递增区间为（-1，0），（1，+∞；单位递减区间为（-∞，-1），（0，1）；因此函数在（-∞，0）值域为[f₂（-1），+∞），在（0，+∞）上值域为[5，+∞）
因此函数f2(x)=x2+x+1+1x+1x2值域为[1，+∞）
当n=3时，f3(x)=x2+x+1+1x+1x2+x3+1x3=f₂（x）+x3+1x3
易证f₂（x）、x3+1x3，在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，
所以f3(x)=x2+x+1+1x+1x2+x3+1x3在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增．
由于f3(x)=x3+x2+x+1+1x+1x2+1x3=(1-x41-x)(1+1x3)-1，用定义易证f3(x)=x3+x2+x+1+1x+1x2+1x3在（-∞，-1）单调递增，在（-1，0）上单调递减．f3(x)=x3+x2+x+1+1x+1x2+1x3的值域为（-∞，-1]∪[7，+∞）
（3）以下给出若干解答供参考，评分方法参考本小题阅卷说明：
第一类问题
结论一、f4(x)=x4+x3+x2+x+1+1x+1x2+1x3+1x4单调递增区间为（-1，0），（1，+∞）单调递减区间为（-∞，-1），（0，1）；值域为[1，+∞）；
结论二、f5(x)=x5+x4+x3+x2+x+1+1x+1x2+1x3+1x4+1x5单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞）
；单调递减区间为（0，1），（-1，0），值域为（-∞，-1]∪[11，+∞）
 解法及评分说明：解法与f3(x)=x3+x2+x+1+1x+1x2+1x3类同，结论分2分，证明正确得2分，共4分；
第二类问题
结论三、当x＞0时，fn(x)=xn+xn-1+…+x+1+1x+…+1xn-1+1xn
在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，值域为[2n+1，+∞）
 结论四、当x＜0且n为奇数时，fn(x)=xn+xn-1+…+x+1+1x+…+1xn-1+1xn在（-1，0）单调递减，在（-∞，-1）单调递增；值域为（-∞，-1]；
结论五、当x＜0且n为偶数时，fn(x)=xn+xn-1+…+x+1+1x+…+1xn-1+1xn在（-∞，-1）单调递减，在（-1，0）单调递增；值域为[1，+∞）；
解法及评分说明：结论三的单调性证明可以用数学归纳法完成；即；x＞0时．
①当n=1时，f1(x)=x+1+1x，用定义易证函数在（0，1）单调递减；在（1，+∞）上单调递增；计算得值域为（-∞，-1]∪[3，+∞）
 ②设函数fn(x)=xn+xn-1+…+x+1+1x+…+1xn-1+1xn（n∈N^*）在（0，1）单调递减；在（1，+∞）
上单调递增；计算得值域为[2n+1，+∞）
 则f_n+1（x）=f_n（x）+xn+1+1xn+1，对于任意0＜x₁＜x₂，f_n+1（x₂）-f_n+1（x₁） 
=fn(x2)-fn(x1)+xn+12+1xn+12-xn+11-1xn+11 
=fn(x2)-fn(x1)+(xn+12-xn+11)(1-1xn+11xn+12)，易证函数f_n+1（x）=f_n（x）+xn+1+1xn+1在（0，1）
单调递减，在（1，+∞）上单调递增；值域为[2（n+1）+1，+∞）．
所以由①、②可得结论成立．
结论四及结论五的证明，可以先求和，后用定义进行证明，即：fn(x)=(1-xn+11-x)×(1+1xn)-1，
f_n（x₂）-f_n（x₁）=(xn+12-xn+11)(1xn1xn2-1)+(xn2-xn1)(x2x1-1xn+11xn+12)(1-x1)(1-x2)，容易获得结论的证明．
解法及评分说明：结论分3分，证明正确得3分，共6分；
第三类问题
结论六：当n为奇数时，fn(x)=xn+xn-1+…+x+1+1x+…+1xn-1+1xn在（-1，0），（0，1）
单调递减，在（-∞，-1），（1，+∞）单调递增；值域为（-∞，-1]∪[2n+1，+∞）；
结论七：当n为偶数时单调递增区间为（-1，0），（1，+∞），单调递减区间为（-∞，-1），（0，1）
；值域为[1，+∞）；
结论八：当n为奇数时，fn(x)=xn+xn-1+…+x+1+1x+…+1xn-1+1xn在（-1，0），（0，1）单调递减，在（-∞，-1），（1，+∞）单调递增；值域为（-∞，-1]∪[2n+1，+∞）；
当n为偶数时单调递增区间为（-1，0），（1，+∞），单调递减区间为（-∞，-1），（0，1）；值域为[1，+∞）；
解法及评分说明：解法与第二类问题类同．结论分4分，求解正确得4分，共8分．

解析

f2(x)-f1(x)=x2+1x2f3(x)-f2(x)=x3+1x3…fn(x)-fn-1(x)=xn+1xn

考点

据考高分专家说，试题“已知：函数fn（x）（n∈N*）的定义域.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）