设函数F=f(x)，f(x)≥g(x)g(x)，f(x)＜g(x)，其中f=log2，g=log2．在实数集R

题文

设函数F（x）=f(x) ，f(x)≥g(x)g(x) ，f(x)＜g(x)，其中f（x）=log₂（x²+1），g（x）=log₂（|x|+7）．
（1）在实数集R上用分段函数形式写出函数F（x）的解析式；
（2）求函数F（x）的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）F（x）=log2(x2+1) ，log2(x2+1) ≥log2(|x|+7)log2(|x|+7) ，log2(x2+1) ＜log2(|x|+7)，（1分）
令log₂（x²+1）≥log₂（|x|+7），得x²-|x|-6≥0，（3分）
解得：x≤-3或x≥3，（5分）∴F（x）=log2(x2+1)，x≥3或x≤-3log2(|x|+7)，-3＜x＜3．（8分）
（写出F(x)=log2(x2+1)，x2+1≥|x|+7log2(|x|+7)，x2+1＜|x|+74分）
（2）当x≥3或x≤-3时，F（x）=log₂（x²+1），设u=x²+1≥10，y=log₂u在[10，+∞）上递增，所以F（x）_min=log₂10（10分）；（说明：设元及单调性省略不扣分）
同理，当-3＜x＜3，F（x）_min=log₂7；（12分）
又log₂7＜log₂10∴x∈R时，F（x）_min=log₂7．（14分）
或因为F（x）是偶函数，所以只需要考虑x≥0的情形，（9分）
当0≤x＜3，F（x）=log₂（x²+7），当x=0时，F（x）_min=log₂7；（11分）
当x≥3时，F（x）=log₂（x²+1），当x=3时，F（x）_min=log₂10；（12分）∴x∈R时，F（x）_min=log₂7．（14分）

解析

log2(x2+1) ，log2(x2+1) ≥log2(|x|+7)log2(|x|+7) ，log2(x2+1) ＜log2(|x|+7)

考点

据考高分专家说，试题“设函数F（x）=f(x)，f(x)≥g(.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）