已知函数f=x-2x-3lnx+1求函数f的单调区间：求f在区间[1，e2]上的值域；若函数g=7f+m-

题文

已知函数f（x）=x-2x-3lnx+1
（I）求函数f（x）的单调区间：
（II）求f（x）在区间[1，e²]上的值域；
（III）若函数g（x）=7f（x）+m-16x-4x在[l，4]上取得最大值3，求实数m的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
f′(x)=1+2x2-3x=x2-3x+2x2=(x-1)(x-2)x2．
∴当x∈（0，1）时，f^′（x）＞0，f（x）为增函数．
当x∈（1，2）时，f^′（x）＜0，f（x）为减函数．
当x∈（2，+∞）时，f^′（x）＞0，f（x）为增函数．
∴f（x）的增区间为（0，1）（2，+∞），
减区间为（1，2）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知在区间（1，e²）内，当x=2时，f（x）取得极小值，
而f（1）=0，f（2）=2-3ln2，f(e2)=e2-2e2-5．
∵f（2）＜f（1）＜f（e²），
∴f（x）在区间（1，e²）上的值域为[2-3ln2，e2-2e2-5]；
（Ⅲ）由f(x)=x-2x-3lnx+1及g(x)=7f(x)+m-16x-4x，
得g(x)=3(x-10x-7lnx)+7+m．
∴g′(x)=3(1+10x2-7x)=3x2(x2-7x+10)=3x2(x-2)(x-5)，x∈[1，4]
当x∈[1，2）时，g^′（x）＞0，g（x）在[1，2）上单调递增；
当x∈（2，4]时，g^′（x）＜0，g（x）在（2，4]上单调递减．
则g（x）在[1，4]上有最大值g（x）_max=g（2）=m-2ln2-2=3．
∴实数m的值为5+2ln2．

解析

2x2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x-2x-3lnx+1.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）