已知二次函数f=ax2-4x+c．若f＜0的解集是求实数a，c的值；求函数f在x∈[0，3]上的值域．

题文

已知二次函数f（x）=ax²-4x+c．若f（x）＜0的解集是（-1，5）
（1）求实数a，c的值；
（2）求函数f（x）在x∈[0，3]上的值域． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由f（x）＜0，得：ax²-4x+c＜0，
不等式ax²-4x+c＜0的解集是（-1，5），
故方程ax²-4x+c=0的两根是x₁=-1，x₂=5．
所以4a=x1+x2=4，ca=x1x2=-5
所以a=1，c=-5．
（2）由（1）知，f（x）=x²-4x-5=（x-2）²-9．
∵x∈[0，3]，f（x）在[0，2]上为减函数，在[2，3]上为增函数．
∴当x=2时，f（x）取得最小值为f（2）=-9．
而当x=0时，f（0）=（0-2）²-9=-5，当x=3时，f（3）=（3-2）²-9=-8
∴f（x）在[0，3]上取得最大值为f（0）=-5．
∴函数f（x）在x∈[0，3]上的值域为[-9，-5]．

解析

4a

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数f（x）=ax2-4x+c．.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）