21．设函数f(x)=log3(x2-4mx+4m2+m+1m-1)，其中m是实数，设M={m|m＞1}求证：当m∈M时，f对所有实数x都有意义；反

题文

21．设函数f(x)=log3(x2-4mx+4m2+m+1m-1)，其中m是实数，设M={m|m＞1}
（1）求证：当m∈M时，f（x）对所有实数x都有意义；反之，如果f（x）对所有实数x都有意义，则m∈M；
（2）当m∈M时，求函数f（x）的最小值；
（3）求证：对每一个m∈M，函数f（x）的最小值都不小于1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）函数f(x)=log3(x2-4mx+4m2+m+1m-1)，
令t=x2-4mx+4m2+m+1m-1
若m＞1，则1m-1＞0，∴t＞0．
若t＞0，则△=（4m）²-4（4m²+m+1m-1）=-4(m2-m+1)m-1＜0，
∵m²-m+1=（m-12）²+34＞0，
∴m＞1，即m∈M．
（2）当m∈M时，t=x2-4mx+4m2+m+1m-1
=（x-2m）²+m+1m-1≥m+1m-1，（x=2m时取等号）．
又函数y=log₃t在定义域上是增函数，
∴x=2m时f（x）有最小值log₃（m+1m-1）．
（3）∵m+1m-1=m-1+1m-1+1，
又m＞1，∴m-1+1m-1+1≥3，当且仅当m-1=1m-1，即m=2时取等号．
又函数y=log₃t在定义域上是增函数，
所以log₃（m+1m-1）≥1，
∴对每一个m∈M，函数f（x）的最小值都不小于1．

解析

1m-1

考点

据考高分专家说，试题“21．设函数f(x)=log3(x2-4.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）