已知函数f对任意实数x，y恒有f=f+f，且当x＞0时，f＜0又f=-2．判断f的奇偶性；求证：f（x

题文

已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0又f（1）=-2．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）求证：f（x）是R上的减函数；
（3）求f（x）在区间[-3，3]上的值域；
（4）若∀x∈R，不等式f（ax²）-2f（x）＜f（x）+4恒成立，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）取x=y=0，则f（0+0）=2f（0），∴f（0）=0，
取y=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=-f（x）对任意x∈R恒成立，
∴f（x）为奇函数．
（2）证明：任取x₁，x₂∈（-∞，+∞）且x₁＜x₂，
则x₂-x₁＞0，f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）＜-f（-x₁），
又f（x）为奇函数，∴f（x₁）＞f（x₂）．
故f（x）为R上的减函数；
（3）∵f（x）为R上的减函数，
∴对任意x∈[-3，3]，恒有f（3）≤f（x）≤f（-3），
f（3）=3f（1）=-2×3=-6，∴f（-3）=-f（3）=-6，
故f（x）在[-3，3]上最大值为6，最小值为-6．
故f（x）在区间[-3，3]上的值域为[-6，6]．
（3）f（x）为奇函数，整理原式得f（ax²）+2f（-x）＜f（x）+f（-2），
可得f（ax²-2x）＜f（x-2），而f（x）在R上是减函数，
所以ax²-2x＞x-2即ax²-3x+2＞0恒成立，
①当a=0时不成立，
②当a≠0时，有a＞0且△＜0，即a＞09-8a＜0，解得a＞98．
故a的取值范围为（98，+∞）．

解析

a＞09-8a＜0

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）