已知函数f=2+log3x，g=[f]2+f．求函数g的解析式及定义域；求函数g的最大值与最小值

题文

已知函数 f（x）=2+log₃x（1≤x≤9），g（x）=[f（x）]²+f（x²）．
（1）求函数g（x）的解析式及定义域；
（2）求函数g（x）的最大值与最小值及相应的x值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由g（x）=[f（x）]²+f（x²）
=（2+log₃x）²+（2+log₃x²），
得g（x）的解析式为g（x）=log₃²x+6log₃x+6，
由1≤x≤91≤x2≤9，
得g（x）的定义域为 1≤x≤3．
（2）因为 g（x）=log₃²x+6log₃x+6
=（log₃x+3）²-3（1≤x≤3），
又 0≤log₃x≤1，
所以当log₃x=0，
即x=1时，
g（x）_min=6；
当log₃x=1，
即x=3时，
g（x）_max=13．

解析

1≤x≤91≤x2≤9

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=2+log3x（1≤x.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）