已知函数f(x)=ln(1+x)-px．若函数f在定义域内为减函数，求实数p的取值范围；如果数列{an}满足a1=3，an+1=[1+1n2(

题文

已知函数f(x)=ln(1+x)-px．
（1）若函数f（x）在定义域内为减函数，求实数p的取值范围；
（2）如果数列{a_n}满足a₁=3，an+1=[1+1n2(n+1)2]an+14n，试证明：当n≥2时，4≤an＜4e34． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）函数f(x)=ln(1+x)-px的定义域为[0，+∞），
f′(x)=11+x-p2x=2x-p(1+x)2(1+x)x．
依题意，2x-p(1+x)≤0恒成立，所以p≥(2x1+x)max，
由x≥0⇒1+x≥2x⇒2x1+x≤1，知(2x1+x)max=1，
∴p≥1，∴p的取值范围为[1，+∞）．
（2）首先，由a₁=3，得a2=[1+112×22]×3+14=4，
而当a_n＞0时有an+1-an=1n2(n+1)2an+14n＞0，∴a_n+1＞a_n，
所以，对n∈N^*（n≥2），都有a_n≥4．
再由an+1=[1+1n2(n+1)2]an+14n及a_n≥4，
又得an+1≤[1+1n2(n+1)2]an+an4n+1=[1+1n2(n+1)2+14n+1]an，
∴lnan+1≤ln{[1+1n2(n+1)2+14n+1]an}=ln[1+1n2(n+1)2+14n+1]+lnan，
∴lnan+1-lnan≤ln[1+1n2(n+1)2+14n+1]．
由（1）知当p≥1时f（x）为减函数，取p=1，则f（x）=ln（1+x）-x，
当x＞0时f（x）＜f（0）=0，故ln（1+x）≤x（x＞0），
∴lnan+1-lnan≤ln[1+1n2(n+1)2+14n+1]＜1n2(n+1)2+14n+1＜1n(n+1)+12n+1=1n-1n+1+12n+1，
∴lna3-lna2＜12-13+123，lna4-lna3＜13-14+124，…．，lnan-lnan-1＜1n-1-1n+12n，
将这n-2个式子相加得lnan-lna2＜12-1n+14(1-12n-2)＜34，
∴ana2＜e34，将a₂=4代入得an＜4e34，
故当n≥2时，4≤an＜4e34．

解析

x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=ln(1+x)-px．.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）