已知函数f(x)=2a+1a-1a2x，x∈[m，n]．用函数单调性的定义证明：函数f在[m，n]上单调递增；f的定义域和值域

题文

已知函数f(x)=2a+1a-1a2x，x∈[m，n]（m＜n）．
（1）用函数单调性的定义证明：函数f（x）在[m，n]上单调递增；
（2）f（x）的定义域和值域都是[m，n]，求常数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵[m，n]⊆（-∞，0）∪（0，+∞）∴m＜n＜0或0＜m＜n
对∀x₁、x₂∈[m，n]，当x₁＜x₂时，f(x1)-f(x2)=-1a2(1x1-1x2)=-1a2•x1-x2x1x2
∵m＜x₁＜x₂＜n，
∴x₁x₂＞0且x₂-x₁＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[m，n]上单调递增．
（2）∵f（x）在[m，n]上单调递增，
∴f（x）在[m，n]上的值域为[f（m），f（n）]
∴f（m）=m且f（n）=n，
∴f（x）=x有两相异的同号根m、n
即2a+1a-1a2x=x，a2x2-a(2a+1)x+1=0   需△=a2(2a+1)2-4a2＞0mn=1a2＞0，
∴a＞12或a＜-32．

解析

1a2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=2a+1a-1a2x，.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）