定义函数f(x)=2cosx，(sinx＜cosx)2sinx(sinx≥cosx)，给出下列四个命题：①该函数的值域是[-2，2]；②该函数是以π为最小正周期

题文

定义函数f(x)=2cosx，(sinx＜cosx)2sinx (sinx≥cosx)，给出下列四个命题：①该函数的值域是[-2，2]；②该函数是以π为最小正周期的周期函数；③当且仅当x=2kπ-π2(k∈Z)时该函数取得最大值2；④当且仅当2kπ-π＜x＜2kπ-π2(k∈Z)时，f（x）＜0．上述命题中，错误命题的个数是（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵函数f(x)=2cosx，(sinx＜cosx)2sinx (sinx≥cosx)，
由三角函数的图象和性质可得：
函数f（x）的值域为[-2，2]，故①错误；
函数f（x）是以2π为最小正周期的周期函数，故②错误；
函数f（x）在x=2kπ或x=2kπ+π2(k∈Z)时该函数取得最大值2，故③错误；
函数f（x）在2kπ-π＜x＜2kπ-π2(k∈Z)时，f（x）＜0，故④正确
故选C

解析

2cosx，(sinx＜cosx)2sinx (sinx≥cosx)

考点

据考高分专家说，试题“定义函数f(x)=2cosx，(sinx.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）