已知f(x)=logax+1x-1．判断函数f的奇偶性，并证明；若a＞1，用单调性定义证明函数f在区间上单

题文

已知f(x)=logax+1x-1（a＞0且a≠1）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）若a＞1，用单调性定义证明函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减；
（3）是否存在实数a，使得f（x）的定义域为[m，n]时，值域为[1-log_an，1-log_am]，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，则说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由x+1x-1＞0得：x＜-1或x＞1．
所以，函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞）．
又∵f(-x)=loga-x+1-x-1=logax-1x+1=-logax+1x-1=-f(x)
∴f（x）为奇函数．
（2）任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0．
因为x1+1x1-1-x2+1x2-1=2(x2-x1)(x1-1)(x2-1)＞0
所以x1+1x1-1＞x2+1x2-1，又因为a＞1，所以logax1+1x1-1＞logax2+1x2-1，
故f（x₁）＞f（x₂），所以，函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减．
（3）假设存在实数a满足题目条件．
由题意得：m＞0，n＞0，又∵[m，n]⊆（-∞，-1）∪（1，+∞），
∴1＜m＜n
又∵1-log_an＞1-log_am，
∴log_am＞log_an，解得a＞1．
由（2）得：函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减．
所以，函数f（x）在区间[m，n]上单调递减．
故，f(m)=1-logamf(n)=1-logan，所以logam+1m-1=logaamlogan+1n-1=logaan，
所以m2+(1-a)m+a=0n2+(1-a)n+a=0，∴m，n是方程x²+（1-a）x+a=0的两个不同的实根．
故，方程x²+（1-a）x+a=0在区间（1，+∞）上有两个不同的实根．
则△=(1-a)2-4a＞0-1-a2＞1f(1)＞0，解得：a＞3+22．又∵a＞1，
所以，a＞3+22
所以，满足题目条件的实数a存在，实数a的取值范围是(3+22，+∞)．

解析

x+1x-1

考点

据考高分专家说，试题“已知f(x)=logax+1x-1（a＞.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）