探究函数f=x+4x x∈的最小值，并确定相应的x的值，列表如下，请观察表中y值随x值变化的特点，完成下列问题：x…0

题文

探究函数f（x）=x+4x  x∈（0，+∞）的最小值，并确定相应的x的值，列表如下，请观察表中y值随x值变化的特点，完成下列问题：
x…0.511.51.71.922.12.22.33457…y…8.554.174.054.00544.0054.1024.244.355.87.57…（1）若当x＞0时，函数f（x）=x+4x时，在区间（0，2）上递减，则在______上递增；
（2）当x=______时，f（x）=x+4x，x＞0的最小值为______；
（3）试用定义证明f（x）=x+4x，x＞0在区间上（0，2）递减；
（4）函数f（x）=x+4x，x＜0有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？
解题说明：（1）（2）两题的结果直接填写在答题卷中横线上；（4）题直接回答，不需证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）若函数f（x）=x+4x  x∈（0，+∞）时，在区间（0，2）上递减，则在（2，+∞） 上递增；
（2）当x=2 时，f（x）=x+4x  x∈（0，+∞）的最小值为4；---（4分）
（3）设任意的x₁，x₂∈（0，2），且x₁＜x₂
f(x1)-f(x2)=x1+4x1-(x2+4x2)=(x1-x2)(x1x2-4x1x2)-----（10分）
∵x₁，x₂∈（0，2），且x₁＜x₂，∴0＜x₁x₂＜4，x₁-x₂＜0，∴x₁x₂-4＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0f（x₁）＞f（x₂），即
∴f（x）=x+4x  在区间（0，2）上单调递减---------------（12分）
（4）函数f（x）=x+4x，x＜0有最大值，当x=-2时，最大值是-4----（14分）

解析

4x

考点

据考高分专家说，试题“探究函数f（x）=x+4x x∈（0，+.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）