已知函数f(x)=a•2x-2+a2x+1．试判断f的单调性，并证明你的结论；若f为定义域上的奇函数，①求函数f的值域；

题文

已知函数f(x)=a•2x-2+a2x+1（a∈R）．
（1）试判断f（x）的单调性，并证明你的结论；
（2）若f（x）为定义域上的奇函数，
①求函数f（x）的值域；
②求满足f（ax）＜f（2a-x²）的x的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（本小题满分16分）
（1）函数f（x）为定义域（-∞，+∞），
且f(x)=a-22x+1，
任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂
则f(x2)-f(x1)=a-22x2+1-a+22x1+1=2(2x2-2x1)(2x2+1)(2x1+1)…（3分）
∵y=2^x在R上单调递增，且x₁＜x₂
∴0＜2x1＜2x2，2x2-2x1＞0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（-∞，+∞）上的单调增函数．…（5分）
（2）∵f（x）是定义域上的奇函数，∴f（-x）=-f（x），
即a-22-x+1+(a-22x+1)=0对任意实数x恒成立，
化简得2a-(2•2x2x+1+22x+1)=0，
∴2a-2=0，即a=1，…（8分）
（注：直接由f（0）=0得a=1而不检验扣2分）
①由a=1得f(x)=1-22x+1，
∵2^x+1＞1，∴0＜12x+1＜1，…（10分）
∴-2＜-22x+1＜0，∴-1＜1-22x+1＜1
故函数f（x）的值域为（-1，1）．…（12分）
②由a=1，得f（x）＜f（2-x²），
∵f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，∴x＜2-x²，…（14分）
解得-2＜x＜1，
故x的取值范围为（-2，1）．…（16分）

解析

22x+1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=a•2x-2+a2x+.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）