求下列函数的定义域、值域及其单调区间：f(x)=3;(2)g(x)=-(.

题文

求下列函数的定义域、值域及其单调区间：
（1）f(x)=3

;
(2)g(x)=-(

. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f（x）的增区间是［4，+∞），减区间是（-∞，1］（2）g(x)的单调递增区间是（-∞，-1］，单调递减区间是［-1，+∞）

解析

（1）依题意x²-5x+4≥0,
解得x≥4或x≤1,
∴f（x）的定义域是（-∞，1］∪［4，+∞）.
令u=

∵x∈（-∞，1］∪［4，+∞），
∴u≥0，即

≥0，而f(x)=3

≥3⁰=1,
∴函数f(x)的值域是［1，+∞）.
∵u=

,∴当x∈（-∞，1］时，u是减函数，
当x∈［4，+∞）时，u是增函数.而3＞1,∴由复合函数的单调性可知，
f（x）=3

在（-∞，1］上是减函数，在［4，+∞）上是增函数.
故f（x）的增区间是［4，+∞），减区间是（-∞，1］.
（2）由g(x)=-(


∴函数的定义域为R，令t=(

^x (t＞0),∴g(t)=-t²+4t+5=-(t-2)²+9,
∵t＞0,∴g(t)=-(t-2)²+9≤9,等号成立条件是t=2,
即g(x)≤9,等号成立条件是(

=2，即x=-1，∴g（x）的值域是（-∞，9］.
由g(t)=-(t-2)²+9 (t＞0),而t=(

是减函数，∴要求g(x)的增区间实际上是求g(t)的减区间，
求g(x)的减区间实际上是求g(t)的增区间.
∵g（t）在（0，2］上递增，在［2，+∞）上递减，
由0＜t=(

≤2,可得x≥-1,由t=(

≥2,可得x≤-1.
∴g（x）在［-1，+∞）上递减，在（-∞，-1］上递增，
故g(x)的单调递增区间是（-∞，-1］，单调递减区间是［-1，+∞）.

考点

据考高分专家说，试题“求下列函数的定义域、值域及其单调区间：（.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）