题文
（1）当
时，求函数
的单调递增区间；
（2）若
，使
成立，求实数a的取值范围；
（3）若函数
的图象在区间（1，+∞）内恒在直线
下方，求实数
的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
(1)
(2)
(3)
∈[
，
]
解析
显然函数f(x)的定义域为
………………1分
（Ⅰ）当
时，
，
；……………2分
由
，结合定义域解得
…………3分
∴
的单调递增区间为
，.……………………………4分
（Ⅱ）将
化简得
，
∴有
令
，则
，由
解得
.…………6分
当
时，
；当
时，
故
∴
，使
成立等价于
即a的取值范围为
……………………………8分
（Ⅲ）令
，则
的定义域为（0，+∞）.
……………………………………………9分
在区间（1，+∞）上，函数
的图象恒在直线
下方等价于
在区间（1，+∞）上恒成立.
∵
①若
，令
，得极值点
，
，………………11分
当
，即
时，在（
，+∞)上有
，
此时
在区间(
，+∞)上是增函数，并且在该区间上有
∈(
，+∞)，不合题意；………………………………………12分
当
，即
时，同理可知，
在区间(1，+∞)上，有
∈(
，+∞)，也不合题意；………………………………………13分
②若
，则有
，此时在区间(1，+∞)上恒有
，
从而
在区间(1，+∞)上是减函数；……………………………………14分
要使
在此区间上恒成立，只须满足
，
由此求得
的范围是[
，
].
综合①②可知，当
∈[
，
]时，函数
的图象恒在直线
下方. 16分
考点
据考高分专家说，试题“（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域定义域、值域的概念：
自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。
1、求函数定义域的常用方法有：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足
的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则
。
3、求函数值域的方法：
（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如
（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）
