已知定义域为的函数同时满足以下三个条件：[1] 对任意的，总有；[2] ；[3] 若，，且，则有成立，并且称为“友谊函数”，请解答下列各题：(1)若已知为“友谊

题文

已知定义域为

的函数

同时满足以下三个条件：
[1] 对任意的

，总有

；
[2]

；
[3] 若

，

，且

，则有

成立，
并且称

为“友谊函数”，请解答下列各题：
(1)若已知

为“友谊函数”，求

的值；
(2)函数

在区间

上是否为“友谊函数”？并给出理由.
(3)已知

为“友谊函数”，假定存在

，使得

且

，
求证：

. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

（2）

为友谊函数

解析

（1）取

得

，-------2分
又由

，得

           --------------- 3分
（2）显然

在

上满足[1]

；[2]

.-------5分
若

，

，且

，则有





故

满足条件[1]、[2]、[3]，所以

为友谊函数.--8分
(3)由 [3]知任给

其中

，且有

，不妨设

则必有：

-----------------------------9分
所以：


所以：

.-----------------------------------10分
依题意必有

,
下面用反证法证明：假设

，则有

或


（1）若

，则

，这与

矛盾；--12分
(2)若

，则

，这与

矛盾；
故由上述（1）、（2）证明知假设不成立，则必有

，证毕.----14分

考点

据考高分专家说，试题“已知定义域为的函数同时满足以下三个条件：.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）