函数的定义域为(0，1]．⑴当时，求函数的值域；⑵若函数在定义域上是减函数，求的取值范围；⑶求函数在x∈(0，1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值

题文

函数

的定义域为(0，1]（

为实数）．
⑴当

时，求函数

的值域；
⑵若函数

在定义域上是减函数，求

的取值范围；
⑶求函数

在x∈(0，1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时

的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）函数

的值域为


（2）

的取值范围是

；
（3）略

解析

解：（1）显然函数

的值域为

；
（2）若函数

在定义域上是减函数，则任取



且

都有

 成立， 即


只要

即可，由



，故

，所以

，
故

的取值范围是

；         
（3）当

时，函数

在

上单调增，无最小值，当

时取得最大值

；
由（2）得当

时，函数

在

上单调减，无最大值，
当x＝1时取得最小值2－a；
当

时，函数

在

上单调减，在

上单调增，无最大值，
当

 时取得最小值

．

考点

据考高分专家说，试题“函数的定义域为(0，1]（为实数）．⑴当.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）